دینامیک تحلیلی به طور خلاصه

ابوالفضل محمدی جو

مکانیک کلاسیک یا “دینامیک کلاسیک” به طور کلی درباره اعمال قوانین نیوتن در یک سیستم دینامیکی و استخراج معادلات حرکت سیستم است. معمولاً ابتدا دیاگرام بدنه آزاد (Free Body Diagram) سیستم را ترسیم می کنید و نیروها را روی اجزاء اعمال می کنید و سپس معادلات حرکت را استخراج می کنید. بنابراین، می‌توان گفت که “دینامیک کلاسیک” یک رویکرد “مبتنی بر نیرو” است.

در «دینامیک تحلیلی» از رویکرد دیگری برای استخراج «معادلات حرکت» یا «معادلات دینامیک سیستم» استفاده می‌کنیم. در این رویکرد ابتدا انرژی سیستم (انرژی‌های جنبشی و پتانسیل) را محاسبه کرده و سپس معادلات دینامیکی را از انرژی سیستم استخراج می‌کنیم، بنابراین، “دینامیک تحلیلی” رویکردی “مبتنی بر انرژی” است.

دو روش اصلی در دینامیک تحلیلی «اصل همیلتون» و «معادلات لاگرانژ» هستند.

در روش همیلتون، باید یک جابجایی مجازی بر روی مختصات تعمیم یافته اعمال کنید و سپس کار مجازی و انرژی های مجازی را محاسبه کنید. سپس با حل معادله زیر، معادلات سیستم دینامیکی به دست می آید:

$\int_{t_1}^{t_2} [\delta W_e + \delta T - \delta U] \,dt = 0$

در معادله فوق $\delta W_e$ کار مجازی توسط نیروهای خارجی، $\delta T$ انرژی جنبشی مجازی و $\delta U$ انرژی الاستیک مجازی است. برای سیستم های پایستار (Conservative)، می توانیم کار مجازی توسط نیروهای خارجی را با انرژی پتانسیل جایگزین کنیم و معادله فوق به صورت زیر تغییر می کند که به اصل همیلتون معروف است:

$\delta \int_{t_1}^{t_2} [ T - (U + V)] \,dt = 0$

در “مکانیک کوانتومی” اصطلاحی به نام “همیلتونین” وجود دارد که مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل است و گاهی اوقات ممکن است با “اصل همیلتون” در دینامیک تحلیلی اشتباه شود. عملگر همیلتونین در فیزیک کوانتومی که در استخراج معادله شرودینگر استفاده می شود به شرح زیر است:

$\hat{H} = \hat{T} + \hat{V}$

روش دوم دینامیک تحلیلی، معادلات حرکت لاگرانژ است. در این روش ابتدا باید انرژی های جنبشی و پتانسیل را محاسبه کنید. سپس لاگرانژین عبارت است از: L = T – V

با حل معادله زیر که به “معادله حرکت لاگرانژ” معروف است، معادلات دینامیکی سیستم به دست می آید:

${\frac{d}{dt}} ({\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}}) - {\frac{\partial L}{\partial q_i}} = Q_i$

در معادله فوق، L لاگرانژین، q مختصات تعمیم یافته و Q نیروهای خارجی تعمیم یافته اعمال شده در هر مختصات تعمیم یافته است.

گاهی اوقات، قیدهایی بر روی سیستم وجود دارد و شما باید معادلات لاگرانژ را با در نظر گرفتن قیود سیستم حل کنید.

اگر قیدهای سیستم فقط تابع مختصات تعمیم‌یافته باشد، قیود هولونومیک نامیده می‌ شود و به شکل زیر است:

$f_j(t, q_1, q_2, ...., q_m) = 0 \quad \quad j = 1,2,...,r$

اما اگر قیدها نیز تابعی از مشتق مختصات تعمیم یافته باشند، به آن قیود «غیر هولونومیک» می گویند و به شکل زیر است:

$\sum_{i=1}^{m} a_{ji} \dot{q_i} + b_j = 0 \quad \quad j = 1,2,...,r$

$a_{ji} = a_{ji} (t,q_i)$

$b_j = b_j(t,q_i)$

با این حال، حتی اگر محدودیت ها هولونومیک باشند، همواره می توانیم از آنها مشتق گرفته و آنها را به قیود غیرهولونومیک تبدیل کنیم. معادله لاگرانژ برای سیستم های دارای قیود به صورت زیر است:

${\frac{d}{dt}} ({\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}}) - {\frac{\partial L}{\partial q_i}} = Q_i + \sum_{j=1}^{r} \lambda_j a_{ji} \quad \quad j = 1,2,...,r$

در معادله فوق $\lambda_j$ ضرایب لاگرانژ هستند که باید حل و استخراج شوند. ۴ تکنیک برای حل معادله لاگرانژ با قیود وجود دارد. این تکنیک ها عبارتند از: «روش ضربی یکپارچه (Integrated Multiplier Method)»، «روش افزوده شده (Augmented Method)»، «روش حذفی (Elimination Method)» و «روش گرین وود (Greenwood Method)». جزئیات هر روش را می توان در هر کتاب درسی دینامیک تحلیلی یافت.

رویکرد دیگری در دینامیک تحلیلی وجود دارد که «کواترنیون» نامیده می شود. کار با زوایای اویلر و استخراج ماتریس دوران، گاهی اوقات پیچیده است و ممکن است دارای تکینگی شود و حل عددی برای آن وجود نداشته باشد. بنابراین، در این رویکرد، پارامتر دیگری به ۳ زاویه اویلر اضافه می شود و این پارامترها همانطور که در فرمول زیر نشان داده شده است “کواترنیون” نامیده می شوند:

$e_0 = cos({\frac{\alpha}{2}}) \quad e_1 = cos(\gamma_1) sin({\frac{\alpha}{2}})$

$e_2 = cos(\gamma_2) sin({\frac{\alpha}{2}}) \quad e_3 = cos(\gamma_3) sin({\frac{\alpha}{2}})$

$e_0^2 + e_1^2 + e_2^2 + e_3^2 = 1$

در معادله بالا $\gamma_1$ و $\gamma_2$ و $\gamma_3$ ۳ زاویه چرخش اصلی حول ۳ محور مختصات و $\alpha$ زاویه چرخش حول محور اصلی است. بقیه مسئله مانند قبل است، تنها تفاوت این است که به جای داشتن ۳ زاویه اویلر (و مشتقات آنها) به عنوان مختصات تعمیم یافته در معادله لاگرانژ، ۴ کواترنیون (و ۴ مشتق) برای استفاده در معادله لاگرانژ دارید و دیگر مشکلات تکینگی و … در حل عددی به وجود نمی آید. فرمول تبدیل کواترنیون ها به زوایای اویلر و بالعکس و محاسبه مشتق کواترنیون ها را می توان در کتاب های درسی دینامیک تحلیلی یافت.

گاهی اوقات هنگام حل معادله لاگرانژ و زمانی که تعداد مختصات زیاد است، می ‌توانیم برخی از مختصات را نادیده بگیریم، این به سرعت بخشیدن در محاسبات کمک می‌ کند. در واقع، مختصاتی که هر دو شرط زیر را برآورده می کنند، مختصات قابل نادیده گرفته شدن (ignorable coordinates)، هستند:

${\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0} \quad and \quad Q_i=0$

وقتی «مختصات قابل نادیده گرفته شدن» را پیدا کردیم، می‌توانیم از «روش راث» برای حل معادله لاگرانژ با مختصات نادیده گرفته شده، استفاده کنیم. این رویکرد نیز در بسیاری از کتاب های دینامیک تحلیلی با جزئیات یافت می شود.

این مقاله را در شبکه های اجتماعی خود به اشتراک بگذارید.

وبلاگ مهندس ابوالفضل محمدی جو

دینامیک تحلیلی به طور خلاصه

ابوالفضل محمدی جو

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

تدریس خصوصی

ویدئوهای آموزشی