شما به عنوان دانشجوی کارشناسی در رشته ریاضیات یا یک علاقه مند به یادگیری دروس رشته ریاضی، در ترم های اول باید دو درس اجباری “آنالیز ریاضی” و “آنالیز حقیقی” را بگذرانید.
بسیاری از مفاهیم و تعاریف معرفی شده در این ۲ درس را در دروس ریاضی دبیرستان آموخته اید و برای شما آشنا هستند. اما یک نکته مهم در این ۲ درس وجود دارد و آن تمرین “اثبات ریاضی” است، زیرا شما به عنوان یک ریاضیدان باید مهارت های اثبات را بیاموزید زیرا که در بقیه دوران علمی خود به عنوان یک ریاضیدان به این مهارت نیاز دارید. در ادامه این مقاله به سرفصل هایی می پردازیم که در درس «آنالیز حقیقی» در دانشگاه ها تدریس می شود.
این درس معمولاً با «نظریه مجموعه ها» و «توابع» و ویژگی های آنها شروع می شود و هر قضیه یا لم باید در طول درس اثبات شود. تعاریف جدید زیادی وجود دارد که قبلاً در مورد مجموعه ها نشنیده اید، مانند: “مجموعه های شمارش پذیر”، ” مجموعه های شمارش ناپذیر”، “مجموعه های متناهی”، “مجموعه های نامتناهی” و غیره.
سپس درس با اعداد “حقیقی” ادامه پیدا می کند. قبل از سایر توضیحات، مجددا یادآوری می کنم که در طول دوره و در هر فصل، ده ها تعریف جدید درباره هر یک از مفاهیم ارائه شده است. در ابتدا ممکن است این تعاریف بی کاربرد و بسیار انتزاعی به نظر برسند، اما بسیاری از آنها در سایر دروس ریاضی در ادامه دوره لیسانس و همچنین در درس های تحصیلات تکمیلی در مقاطع کارشناسی ارشد و دکترا مورد استفاده قرار می گیرند.
در ابتدای این فصل “دنباله های اعداد حقیقی” بررسی می شوند. سپس یک تعریف برای “فضای متریک” ارائه می شود و تعریف می کند که “متر” چیست. “دنباله کوشی” و خواص و لم های مربوط به آن معرفی و اثبات می شود. همچنین “قضیه کانتور” برای فضاهای متریک را در این فصل می آموزیم.
در فصل بعدی «نظریه اندازه ها» معرفی می شود. جبر مجموعه ها از دیگر مباحثی است که در این درس به آن پرداخته شده است. سپس با مفهوم “انتگرال”، اما پیشرفته تر از آنچه قبلاً در مورد آن می دانید، آشنا می شویم. “انتگرال لبگ” در این فصل تعریف شده است. «قضیه لوی-اشتاینتز» و «لم فاتو» در این فصل معرفی شده اند. مفهوم جدید دیگر در مورد انتگرال ها “انتگرال ریمان” است که در این فصل تعریف شده است و قضایای مربوط به آن مطرح و اثبات می گردند.
فصل بعدی در مورد “فضای برداری نرم دار” یا “فضای نرم دار” است. پس از تعریف فضای نرم دار، «فضای باناخ» و «فضای LP» تعریف می شود. «نامساوی هولدر»، «نامساوی مینکوفسکی» و «نامساوی کوشی-شوارتز» سه ویژگی مهم در فضاهای نرم دار هستند. و در پایان این فصل «فضای هیلبرت» و قضایای مربوط به آن معرفی شده است.
در لینک زیر رئوس مطالب درس “آنالیز حقیقی” که در دانشگاه MIT تدریس می شود، آمده است:
https://ocw.mit.edu/courses/18-100c-real-analysis-fall-2012/pages/readings/
برای فارسی زبانان، دوره بسیار مفید و کاملی وجود دارد که تقریباً تمام موضوعات مرتبط را پوشش می دهد که توسط موسسه آموزش آنلاین فرادرس در لینک زیر تهیه شده است:
https://faradars.org/courses/fvtimth111-principles-of-real-analysis
2 پاسخ
سلام . مشتقگیری در انالیز حقیقی نیست ؟ ممظورم واسه کنکور دکتری .
سلام. مباحث حد، پیوستگی، مشتق و حتی انتگرال گیری، جز مباحث درس آنالیز ریاضی است. در آنالیز حقیقی انتگرال گیری با تعریف کمی متفاوت تر (انتگرال لبگ) ارائه می شود.
در ارتباط با سرفصل های کنکور ارشد یا دکتری ریاضی اطلاعی ندارم، ولی از لینک های زیر می تونید دروسی که در کنکور میاد رو ببینید:
کنکور ارشد ریاضی
کنکور دکتری ریاضی